VII. kategorie  -  4. ročník studijních oborů

 

 

 

1.     Do čtverce o délce strany a je vepsán čtverec, jehož vrcholy jsou středy stran původního čtverce. Do takto vzniklého čtverce je stejným způsobem vepsán čtverec další, do něj další, …..

Vypočtěte:   a) obsah desátého čtverce

                   b) součet obsahů prvních deseti takových čtverců.

 

2.     V galerii je třeba umístit pět soch A, B, C, D, E. Kolika způsoby je lze postavit: 

a)     vedle sebe tak, aby socha A stála na jednom či druhém kraji a sochy B a C sousedily

b)    do kruhu, v němž záleží jen na vzájemném rozmístění soch, nikoliv na jejich umístění vzhledem k okolí.

 

3.     Dopravní inspekce náhodně kontroluje vozidla poznávací značky KIL XX-XX.

Určete:

a)     jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybrané vozidlo bude mít čtyřčíslí, ve kterém se cifry neopakují

b)    s jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybrané vozidlo čtyřčíslí složené jen z lichých cifer.

 

4.     V rovině jsou dány body A = [ 0; 3]; B = [ 5; 8]; M = [ m1; 2]. Určete souřadnici m1 bodu M, jsou-li vektory AM a BM na sebe kolmé.

 

5.     V množině komplexních čísel řešte rovnici: x3 + 1 = 0 . Řešení v algebraickém tvaru znázorněte v Gausově rovině v jednotkové kružnici a kořeny vyjádřete v goniometrickém tvaru.